[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.·UWAGA·1.Definicja ta pomimo pewnych zalet posiada liczne wady:·a) liczba doswiadczen w praktyce jest zawsze skonczona zatem nie mozemy ·okreslic prawdopodobienstwa jako granicy czestosci przy nieograniczonym ·wzroscie doswiadczen.·b) nielogiczne zastosowanie pojec teoretycznych i empirycznych czestosci jest ·zmienna empiryczna i to czy dazy do granicy zalezy od wyniku kazdego z serii ·doswiadczen poniewaz wynik doswiadczenia jest zdarzeniem wiec dazy n(A)/N·do granicy jest rowniez zdarzeniem losowym majacym prawdopodobienstwo.·WLASNOSCI PRAWDOPODOBIENSTWA·Niech (E, M, P) bedzie przestrzenia probalistyczna A1, A2,.BcM·TW·1.P()=0·2.P(A')=1-P(A)·3.Jezeli AcB îP(A)®P(B)·4.P(AuB)=P(A)+P(B)-P(anB)·PRAWDOPODOBIENSTWO WARUNKOWE·DEF·Zalozmy ze P(A)>0 prawdopodobienstwem warunkowym·zajscia zdarzenia B pod warunkiem zajscia zdarzenia A jest ·liczba postaci·P(B/A)=P(AnB)/P(A)·Jezeli E jest przestrzenia zdarzen elementarnych, a M rodzina·zdarzen losowych to wzor powyzszy przyporzadkowuje ·dowolnemu zdarzeniu BcM liczbe P(B/A) zatem okreslimy funkcje na rodzinie M·ktora nazywamy prawdopodobienstwem warunkowym:·f:B‡P(B/A)·0®P(B/A)®1·UWAGA·Jezeli zalozymy ze P(B)>0 to ·P(A/B)=P(AnB)/P(B)·TW·Funkcja P(B/A) jest prawdopodobienstwem okreslonym na rodzinie zdarzen losowych M·DEFINICJA 1·Zdarzenia A i B nazywamy niezaleznymi jezeli zachodzi·P(AnB)=P(A)*P(B)·Niezaleznosc n zdarzen ,gdzie (nŻ2)·DEFINICJA 2·Zdarzenia A1,A2.An nazywamy niezaleznymi jezeli dla kazdej liczby naturalnej ·k®n i dowolnego skonczonego ciagu liczb naturalnych i1,i2,.,ik spelniajacych·nierownosci i1®i2®.®ik®n zachodziwzor nastepujacy·P(Ai1 n Ai2 n.n Aik)=P(Ai1)*P(Ai2)*.P(aik)·to znaczy ,ze prawdopodobienstwo iloczynu dowolnych k sposrod tych zdarzen (n ·zdarzen) rowna sie iloczynowi prawdopodobienstw tych zdarzen·SCHEMAT BERNOULIEGO·Niech S bedzie pewnym doswiadczeniem losowym, doswiadczenie S skonczona liczbe ·razy.Przyczym zakladamy, ze wynik dowolnego doswiadczenia jest niezalezny od ·kazdego iloczynu wyniku innych doswiadczen(dosw.niezalezne)·Zalozmy, ze w wyniku doswiadczenia S moze zaistniec interesujace zdarzenie A ·ktore nazywamy sukcesem albo adarzenie A', ktore nazywamy porazka.Zakladamy ·ponadto, ze prawdopodobienstwo zajscia zdarzenia A dla kazdego doswiadczenia S ·jest stale i rowna sie p (p=P(A)) tzn.prawdopodobienstwo to nie zmienia sie ·w czasie powtarzania doswiadczenia·Prawdopodobienstwo porazki A' oznaczamy q (q=P(a')) P(A')=1-P(A) ·q=1-p tak okreslony ciag powtorzen doswiadczenia S nazywamy schematem ·Bernouliego.Poszczegolne doswiadczenia S nazywamy probami Bernouliego·TWIERDZENIE·Prawdpbodobienstwo P otrzymania k gdzie (nŻkŻ0) sukcesow w ciagu n prob ·Bernouliego okreslone jest wzorem·P k po n =P(S po k = k)=(k po n )*p po k * q ^n-k·gdzie 0®p®1 p-prawdopodobienstwo sukcesow w pojedynczej probie Bernoulliego·q=1-p q- prawdopodobienstwo porazki w jednej probie Bernoulliego·DOWOD·S=(A,A,.,A',A',.,A')·P({S})=P(AnAn.AnA'nA'.A')=P(A)*P(A).P(A)*P(A')*P(A').P(A')=·=[P(A)^k*[P(A')]^n-k ale P(A)=p P(A')=q=1-p·P({S})=p^k*q^n-k·Tyle jest sposobow pojawiania sie k sukcesow oraz n-k porazek w ciagu n ·doswiadczen ile jest kombinacji (n po k)·zatem P(Sn=k)=(k po n)*p^k*q^n-k·UWAGI·1.Wzor (1) nazywamy takze wzorem dwuwymiarowym poniewaz wyrazenie (k po n)*·*p^k*q^n-k jest wyrazem ogolnym rozwiniecia Newtona (p+q)^n·(p+q)^n=(0 po n)*p^n+(1 po n)*p^n-1*q+(2 po n)*p^n-2*q^2.(k po n)*p^k*q^n-k+·+.+(k po n)*q^n·2.P(SnŻk)=? ; P(Sn®k)=? ; P(Sn>k)=? ; P(Sn<k)=?·P(Sn=Żk)=P(Sn=k)+P(Sn=k+1)+.+P(Sn=N);P(Sn®k)=P(Sn+0)+P(Sn=1)+.+P(Sn=k)·P(Sn<k)=P(Sn=0)+.+P(Sn=k+1) ; P(Sn>k)= 1-P(Sn®k)·PRAWDOPODOBIENSTWO CALKOWITE (ZUPELNE)·TWIERDZENIE 1·Niech zdarzenia: zalozenia 1).A1,A2.An wylaczaja sie parami ; AinAj=zbior·pusty i,j=1,2,.,n ;2).P(Ai)>0 i=1,2,.n i nie rowne j ;3).suma Ai=E·A1uAu.An=E -wowczas dla dowolnego zdarzenia B zachodzi wzor:(BCE)·Teza P(B)=P(Ai)*P(B/Ai); Dowod Zdarzenie B mozemy zapisac w postaci ·BnE=BnsumaAi=suma(BnAi) A1 n A2=zbior pusty A1 u A2=E·B=BnE=Bn(A1uA2)=(BnA1)u(BnA)=suma(BnAi) poniewaz zdarzenia Ai wylaczaja sie·parami, majac zdarzenia BnAi tez wylaczaja sie parami.·Zatem na mocy eksjomaty III definicji prawdopodobienstwamamy:P(B)=·P[suma(BnAi)]=P(BnAi) Na podstawie definicji praw warunkowego mamy·P(BnAi)=P(BnAi)/P(Ai) P(BnAi)=P(A)*P(B/Ai) P(B)=P(Ai)*P(B/Ai)·TWIERDZENIE 2·Niech zdarzenia 1).A1,A2,.,An wylaczaja sie parami AinAj=zbior pusty·2).P(Ai)>0 dla i=1,2.n 3).A1,uA2,u.An u.=E rownanie dla ·dowolnego zdarzenia zachodzi: P(B)=P(Ai)*P(B/Ai)·WZOR BOYSE'A·TWIERDZENIE 3·ZAl Niech zdarzenie 1).A1,A2.An spelnia zalozenia twierdzenia1 2).P(B)>0·Teza: wowczas dla dowolnego zdarzenia B zachodzi P(AI/B)=P(Ai)*P(B?Ai)/·P(Ai)*P(B/Ai) dowod : ze wzoru na praw warunkowe mamy:·P(Bi/Ai)=P(AinB)/P(Ai) stad wynika P(Ai/B)=P(Ai)*P(B/Ai) otrzymamy·P(Ai/B)=P(Ai)*P(B/Ai)/P(Ai)*P(B/Ai)·uwagi 1.Wzor 3 Boyse'a pozwala omowic prawdopodobienstwo zdarzenia Ai gdzie ·i=1,2.n, gdy nastapilo zdarzenie B ·2.W zastosowaniach rachunku prawdopodobienstwa istnieja wydarzenia ·w ktorych dany jest wynik doswiadczenia a interesuje nas pradopodobienstwo ·zdarzenia ktorego nastepstwem jest dany wynik doswiadczenia.·3.Wystepujace we wzorze 3 prawdopodobienstwo P(Ai) nazywamy prawdopodobienstwem ·apriori natomiast prawdopodobienstwo P(B) nazywamy prawdopodobienstwem ·a'posterioni [ Pobierz całość w formacie PDF ]