[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Indeksy przy naprężeniu stycznym pokazujÄ…: pierwszy pÅ‚aszczyznÄ™ na której onowystÄ™puje, a drugi oÅ› ukÅ‚adu do której to naprężenie jest równolegÅ‚e.Zatem np.à to naprężenie normalne na pÅ‚aszczyz
nie prostopadÅ‚ej do osi Z, a Ä toz yxnaprężenie styczne na pÅ‚aszczyz
nie prostopadłej do osi Y i równoległe do osi X.Powszechnie jest stosowana i co ważniejsze jest wygodna szczególna umowa znakowaniaelementów macierzy naprężeń (czyli współrzędnych wektorów naprężeń na płaszczyznachprostopadłych do osi układu).Za dodatnie, w macierzy naprężeń, uważamy współrzędne takich składowych, które mają:" zwrot zgodny ze zwrotem osi do której są równoległe" i zwrot normalnej zewnętrznej płaszczyzny na której one występują także zgodny zezwrotem osi układu do której ta normalna jest równoległalub jeśli zarówno składowa jak i normalna mają zwroty przeciwne do odpowiednich osi, doktórych są równoległe.Jest tzw.reguła podwójnej zgodności.W każdym innym przypadku współrzędna jest ujemna.Zgodnie z przyjętą umową naprężenie normalne jest dodatnie jeśli jest rozciągające, a ujemnejeśli jest ściskające.Należy powiedzieć, że macierz naprężeń w punkcie to zbiór liczb.Gdybyśmy rozszerzyli topojęcie na całą objętość bryły to miejsce liczb zajmą funkcje współrzędnych wektorawodzącego dowolnego punktu obszaru bryły.Jak się wkrótce przekonamy macierz naprężeń w punkcie będzie podstawą określenia w nimstanu naprężenia.Dla lepszego zrozumienia oraz utrwalenia przyjętych definicji i umów znakowaniaelementów macierzy naprężeń przedstawimy jej graficzną interpretację.Wez
my obciążone, pozostajÄ…ce w równowadze ciaÅ‚o i wybierzmy w nim dowolny punktmaterialny C (rys.4.4).BÄ™dziemy go modelować za pomocÄ… dowolnie maÅ‚ego szeÅ›cianu, którego Å›cianki sÄ…równolegÅ‚e do pÅ‚aszczyzn ukÅ‚adu odniesienia.30Adam Bodnar: WytrzymaÅ‚ość Materiałów.Teoria stanu naprężenia.ÃzÄzyÄzxYdzÄyzÄyx ÃÄxxyÃÃyyY YÄxzCÄÄxzyxYÄyz YÄÄÄÄrxyÃÄxzxY Ä zyZ dxÃzYXYdyRys.4.4Ten punkt materialny możemy wyjÄ…c z rozważanej bryÅ‚y pod warunkiem, że przyÅ‚ożymy doniego wszystkie siÅ‚y z jakimi pozostaÅ‚e punkty ciaÅ‚a dziaÅ‚ajÄ… na niego.WielkoÅ›ci tych siÅ‚otrzymamy mnożąc elementy macierzy naprężeÅ„ pokazane na rys.4.4 przez powierzchnieodpowiednich Å›cianek szeÅ›cianu.Tak wiÄ™c pokazany na rys.4.4 szeÅ›cian pokazuje graficznyobraz macierzy naprężeÅ„ (wszystkie narysowane na nim skÅ‚adowe macierzy naprężeÅ„ sÄ…dodatnie) i równoczeÅ›nie siÅ‚y z jakimi wszystkie punkty bryÅ‚y dziaÅ‚ajÄ… na punkt C.Z zaÅ‚ożenia o równowadze rozważnej bryÅ‚y wynika równowaga siÅ‚ wewnÄ™trznychdziaÅ‚ajÄ…cych na punkt C.RozpisujÄ…c warunki równowagi tych siÅ‚ otrzymamy zależnoÅ›ci:" z warunków zerowania siÄ™ momentów siÅ‚ wzglÄ™dem osi ukÅ‚aduñøÄ = Äxy yxôø(4.4)òøÄ = Äxz zxôøÄ = Äyz zyóø" z warunków zerowania siÄ™ rzutów siÅ‚ na osie ukÅ‚adu" Äñø" à "Äxyx xz+ + + Px = 0ôø" x " y " zôøôø" Ä " à "Äyx y yz+ + + Py = 0 (4.5)òø" x " y " zôø" Äôø " Ä "Ãzyzx z+ + + Pz = 0ôø" x " y " zóøgdzie: Px , Py , P współrzÄ™dne siÅ‚y masowej.zRównania (4.4) dowodzÄ…, że macierz naprężeÅ„ jest symetryczna, a równania różniczkowe(4.5) stanowiÄ… warunki konieczne które winny speÅ‚niać funkcje trzech zmiennych aby mócbyć elementami macierzy naprężeÅ„.Równania różniczkowe (4.5) noszÄ… nazwÄ™ równaÅ„równowagi wewnÄ™trznej lub równaÅ„ Naviera i muszÄ… być stowarzyszone ze statycznymi31Adam Bodnar: WytrzymaÅ‚ość Materiałów.Teoria stanu naprężenia.warunkami brzegowymi wiążącymi obciążenie brzegu bryÅ‚y z elementami macierzynaprężeÅ„.4.4.WspółrzÄ™dne wektora naprężenia na dowolnej pÅ‚aszczyz
nie.Tensor naprężeńWytnijmy z wnętrza bryły, będącej w równowadze, nieskończenie mały czworościan wokółdowolnego punktu C, którego trzy ściany będą równoległe do płaszczyzn układu odniesieniaa czwarta będzie równoległa do dowolnej płaszczyzny o wersorze normalnym v(l , m, n).Zakładając, że znamy macierz naprężeń w tym punkcie będziemy chcieli wyznaczyć wektornaprężenia pv (pvx , pvy , pvz ) na tej czwartej dowolnej płaszczyz
nie (rys.4.5).~ ~ ~pvxpv (~ , pvy , pvz )~Ä ~yx ~ÃÄx~xy v(l ,m ,n)ÃyYY~~ÄC xzÄyzY~ÄzxZ~Äzy~ÃzYXYRys.4.5Oznaczmy pola Å›cianek czworoÅ›cianu odpowiednio prostopadÅ‚ych do osi ukÅ‚adu odniesieniaprzez: " Ax , " Ay , " Az , a pole czwartej przez " A.Ponieważ współrzÄ™dne wersoranormalnego czwartej dowolnie nachylonej Å›cianki czworoÅ›cianul = cos(v , X ), m = cos(v ,Y ), n = cos(v , Z) to miÄ™dzy polami powierzchni Å›cianek czworoÅ›cianuzachodzÄ… zależnoÅ›ci:"Ax = "Al , "Ay = "Am, "Az = "A n.Tilda  [ Pobierz caÅ‚ość w formacie PDF ]