[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.ÿþMetody obliczenioweSemestr IIMetody numeryczne - sposoby rozwiÄ…zaniazadania matematycznego za pomocÄ… operacjina liczbach1.RozwiÄ…zywanie ukÅ‚adów równaÅ„ liniowych.Metody bezpoÅ›rednie i iteracyjne.2.Sposoby rozwiÄ…zywania równaÅ„ nieliniowych, zagadnienie optymalizacji.3.Aproksymacja i interpolacja, pojÄ™cie modelu regresji.4.Wzory przybli\
onego ró\
niczkowania i całkowania.5.Metoda Monte Carlo.6.Przykłady zastosowania metod obliczeniowych w zadaniach in\
ynierskich.Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1Nr: 2LiteraturaA.Bjorck, G.Dahlquist,Metody numeryczne, PWN, Warszawa 1983.Z.Fortuna, B.Macukow, J.Wąsowski,Metody numeryczne, WNT, Warszawa 2005.J.Stoer, R.Bulirsch,Wstęp do metod numerycznych I-II, PWN 1990A.Brozi,Scilab, Nakom 2007S.Rosłaniec,Wybrane metody numeryczne z przykładami zastosowań w zadaniachin\
ynierskich, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2002.Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykÅ‚ad nr 1Nr: 3Portale internetowe" http://www.put.poznan.pl/~albert.kubzdela" http://www.ikb.poznan.pl/zaklady/komp/Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykÅ‚ad nr 1Nr: 4Metody obliczeniowe" wykÅ‚ad nr 1 metody rozwiÄ…zywania ukÅ‚adów równaÅ„liniowychMetody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykÅ‚ad nr 1Nr: 5PojÄ™cie ukÅ‚adu równaÅ„ liniowycha11x1 + a12x2 +L+ a1nxn = b1ñøôøa21x1 + a22x2 +L+ a2nxn = b2ôøòøLôøôøam1x1 + am2x2 +L+ amnxn = bmóø" UkÅ‚ad powy\
szy nazywamy układem m równań liniowych o n niewiadomych." Skalary ai, j nazywamy współczynnikami układu, skalary bi to wyrazy wolne." Rozwiązaniem układu nazywamy dowolną n-kę (r1, r2,., rn), które popodstawieniu w miejsce xi do powy\
szych równaÅ„ dajÄ… równoÅ›ci prawdziwe(sprawdzenie poprawnoÅ›ci rozwiÄ…zania  podstawienie n-ki (r1, r2,., rn) do lewychstron równaÅ„ i porównanie z wyrazami wolnymi).Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykÅ‚ad nr 1Nr: 6PrzykÅ‚ad ukÅ‚adu równaÅ„przykÅ‚ad ukÅ‚adu dwóch równaÅ„ z trzema niewiadomymi:2x1 + x2 + x3 = 2ñøòøx2 - 2x3 = -4óøOdpowiednio: a1,1 = 2, a1,2 = 1, a1,3 = 1, a2,1 = 0, a2,2 = 1, a2,3 = -2; wyrazami wolnymi sÄ… liczby 2 i -4.x1îø ùø2 1 1 2îø ùø îø ùøïøx úø2ïø0 1 - 2úø Å" ïø úø = ïø- 4úøðø ûø ðø ûøïø úø3ðøx ûøUkÅ‚ad ten ma nieskoÅ„czenie wiele rozwiÄ…zaÅ„, jednym z nichjest trójka: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 2.Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykÅ‚ad nr 1Nr: 7Zapis macierzowy ukÅ‚adu równaÅ„ liniowycha11x1 + a12x2 +L+ a1nxn = b1ñøPostać równaniaôømacierzowego:a21x1 + a22x2 +L+ a2nxn = b2ôøòøLôøôøam1x1 + am2x2 +L+ amnxn = bmóøa11 a12 L a1n x1 b1îø ùøîø ùø îø ùøïøaa22 L a2n úøïøx2 úø ïøb2 úø21ïø úøïø úø ïø úø= Ò! [A]x = bïø úøïø úø ïø úøL L L L L Lïøaam2 L amn úøïøxn úø ïøbm úøðø m1 ûøðø ûø ðø ûøMetody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykÅ‚ad nr 1Nr: 8Zapis macierzowy ukÅ‚adu równaÅ„ liniowycha11 a12 L a1n x1 b1îø ùøîø ùø îø ùøPostać równania ïøaa22 L a2n úøïøx2 úø ïøb2 úø21ïø úøïø úø ïø úø= Ò! [A]x = bmacierzowego:ïø úøïø úø ïø úøL L L L L Lïøaam2 L amn úøïøxn úø ïøbm úøðø m1 ûøðø ûø ðø ûøZ danym ukÅ‚adem równaÅ„ zwiÄ…zane sÄ… dwie wa\
ne macierze.macierz główna ukÅ‚adu równaÅ„ macierz rozszerzona(macierz współczynników): (powstaje z macierzy głównej przezdoÅ‚Ä…czenie do niej kolumny wyrazówa11 a12 L a1nîø ùøwolnych:ïøaa11 a12 L a1n b1îø ùøa22 L a2n úø21ïø úøA = ïøaa22 L a2n b2 úøïø úø 21L L L Lïø úøArozszerz.=ïø úøïø úøL L L Lam2 L amn ûøðøam1ïø úøam2 L amn bm ûøðøam1Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykÅ‚ad nr 1Nr: 9Istnienie rozwiÄ…zania ukÅ‚adu równaÅ„RzÄ…d macierzyRzÄ™dem macierzy A (rank(A), rz(A) ) nazywamy najwiÄ™kszÄ… liczbÄ™liniowo niezale\
nych wektorów kolumnowych w macierzy A.Skończony układ wektorów {w1,.,wn}nazywamy układem liniowo niezale\
nym,gdy a1w1+.+anwn `" 0 jeÅ›li skalary a1,.,an nie wszystkie sÄ… równe zero`"`"`"2 1 1 2 1 3îø ùø îø ùø2 1 3îø ùø îø ùø îø ùøïø0 1 - 2úø, B = ïø0 1 1úøïø0úø ïø1úø ïø1úøA =+ =ïø úø ïø úøïø úø ïø úø ïø úøïø ïø úøðø1 1 1 úø ðø1 1 2ûø ïøûøðø1úø ïø ûø ðø2úøûø ðø1úø ïø ûørank(A) = 3 rank(B) = 2Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykÅ‚ad nr 1Nr: 10Istnienie rozwiÄ…zania ukÅ‚adu równaÅ„RzÄ…d macierzySprawÄ™ rozwiÄ…zalnoÅ›ci ukÅ‚adu równaÅ„ wyjaÅ›nia TwierdzenieKroneckera-Capellego:UkÅ‚ad równaÅ„ liniowych ma rozwiÄ…zanie wtedy i tylko wtedy,gdy rzÄ…d macierzy głównej jest równy rzÄ™dowi macierzyrozszerzonej.Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykÅ‚ad nr 1Nr: 11RzÄ…d macierzy - przykÅ‚ady" ukÅ‚ad równaÅ„ posiadajÄ…cy rozwiÄ…zanie:2 x1 + x + x3 = 2ñø2 1 1 2 1 1 2îø ùø îø ùø2ôøïø0 1 - 2úø, ïø0 1 - 2 - 4úøx - 2 x3 = - 4A = Arozszerzona =2òøïø úø ïø úøôøïø ïøx1 + x + x = 2ðø1 1 1 úø ðø1 1 1 2 úøûø ûøóø 2 3rank(A) = 3 rank(Arozszerzona ) = 3T T2 * [1 - 2 1] = [2 - 4 2]Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykÅ‚ad nr 1Nr: 12RzÄ…d macierzy - przykÅ‚ady" ukÅ‚ad równaÅ„ posiadajÄ…cy rozwiÄ…zanie:2 x1 + x + x3 = 2ñø2 1 1 2 1 1 2îø ùø îø ùø2ôøïø0 1 - 2úø, ïø0 1 - 2 - 4úøx - 2 x3 = - 4A = Arozszerzona =2òøïø úø ïø úøôøïø ïøx1 + x + x = 2ðø1 1 1 úø ðø1 1 1 2 úøûø ûøóø 2 3rank(A) = 3 rank(Arozszerzona ) = 3T T2 * [1 - 2 1] = [2 - 4 2]" ukÅ‚ad równaÅ„ nie posiadajÄ…cy rozwiÄ…zania:2 1 2 1 2îø ùø îø ùø2 x1 + x = 2ñøA = Arozszerzona =2ïø4 2úø, ïø4 2 5úøòøðø ûø ðø ûø4 x1 + 2 x = 5óø 2rank(A) = 1 rank(Arozszerzona ) = 2Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykÅ‚ad nr 1Nr: 13Typy ukÅ‚adów równaÅ„ liniowych" UkÅ‚ad jednorodny Je\
eli wszystkie wyrazy wolne są równe 0, to układ równań nazywamyjednorodnym.Układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie." Układ kwadratowy Je\
eli n = m układ równań nazywamy kwadratowym." rank(A) [ Pobierz całość w formacie PDF ]