metody obliczeniowep1 10

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.��Metody obliczenioweSemestr IIMetody numeryczne - sposoby rozwiązaniazadania matematycznego za pomocą operacjina liczbach1.Rozwiązywanie układów równań liniowych.Metody bezpośrednie i iteracyjne.2.Sposoby rozwiązywania równań nieliniowych, zagadnienie optymalizacji.3.Aproksymacja i interpolacja, pojęcie modelu regresji.4.Wzory przybli\onego ró\niczkowania i całkowania.5.Metoda Monte Carlo.6.Przykłady zastosowania metod obliczeniowych w zadaniach in\ynierskich.Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1Nr: 2LiteraturaA.Bjorck, G.Dahlquist,Metody numeryczne, PWN, Warszawa 1983.Z.Fortuna, B.Macukow, J.Wąsowski,Metody numeryczne, WNT, Warszawa 2005.J.Stoer, R.Bulirsch,Wstęp do metod numerycznych I-II, PWN 1990A.Brozi,Scilab, Nakom 2007S.Rosłaniec,Wybrane metody numeryczne z przykładami zastosowań w zadaniachin\ynierskich, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2002.Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1Nr: 3Portale internetowe" http://www.put.poznan.pl/~albert.kubzdela" http://www.ikb.poznan.pl/zaklady/komp/Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1Nr: 4Metody obliczeniowe" wykład nr 1 metody rozwiązywania układów równańliniowychMetody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1Nr: 5Pojęcie układu równań liniowycha11x1 + a12x2 +L+ a1nxn = b1��a21x1 + a22x2 +L+ a2nxn = b2��L��am1x1 + am2x2 +L+ amnxn = bmó�" Układ powy\szy nazywamy układem m równań liniowych o n niewiadomych." Skalary ai, j nazywamy współczynnikami układu, skalary bi to wyrazy wolne." Rozwiązaniem układu nazywamy dowolną n-kę (r1, r2,., rn), które popodstawieniu w miejsce xi do powy\szych równań dają równości prawdziwe(sprawdzenie poprawności rozwiązania podstawienie n-ki (r1, r2,., rn) do lewychstron równań i porównanie z wyrazami wolnymi).Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1Nr: 6Przykład układu równańprzykład układu dwóch równań z trzema niewiadomymi:2x1 + x2 + x3 = 2��x2 - 2x3 = -4ó�Odpowiednio: a1,1 = 2, a1,2 = 1, a1,3 = 1, a2,1 = 0, a2,2 = 1, a2,3 = -2; wyrazami wolnymi są liczby 2 i -4.x1�� 2 1 1 2�� x ��2��0 1 - 2�� " �� = ��- 4�� 3��x ��Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań, jednym z nichjest trójka: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 2.Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1Nr: 7Zapis macierzowy układu równań liniowycha11x1 + a12x2 +L+ a1nxn = b1��Postać równania��macierzowego:a21x1 + a22x2 +L+ a2nxn = b2��L��am1x1 + am2x2 +L+ amnxn = bmó�a11 a12 L a1n x1 b1�� aa22 L a2n ��x2 �� b2 ��21�� = �! [A]x = b�� L L L L L L��aam2 L amn ��xn �� bm �� m1 �� Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1Nr: 8Zapis macierzowy układu równań liniowycha11 a12 L a1n x1 b1�� Postać równania ��aa22 L a2n ��x2 �� b2 ��21�� = �! [A]x = bmacierzowego:�� L L L L L L��aam2 L amn ��xn �� bm �� m1 �� Z danym układem równań związane są dwie wa\ne macierze.macierz główna układu równań macierz rozszerzona(macierz współczynników): (powstaje z macierzy głównej przezdołączenie do niej kolumny wyrazówa11 a12 L a1n�� wolnych:��aa11 a12 L a1n b1�� a22 L a2n ��21�� A = ��aa22 L a2n b2 �� 21L L L L�� Arozszerz.=�� L L L Lam2 L amn ��am1�� am2 L amn bm ��am1Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1Nr: 9Istnienie rozwiązania układu równańRząd macierzyRzędem macierzy A (rank(A), rz(A) ) nazywamy największą liczbęliniowo niezale\nych wektorów kolumnowych w macierzy A.Skończony układ wektorów {w1,.,wn}nazywamy układem liniowo niezale\nym,gdy a1w1+.+anwn `" 0 jeśli skalary a1,.,an nie wszystkie są równe zero`"`"`"2 1 1 2 1 3�� 2 1 3�� 0 1 - 2��, B = ��0 1 1��0�� 1�� 1��A =+ =�� 1 1 1 �� 1 1 2�� 1�� 2�� 1�� rank(A) = 3 rank(B) = 2Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1Nr: 10Istnienie rozwiązania układu równańRząd macierzySprawę rozwiązalności układu równań wyjaśnia TwierdzenieKroneckera-Capellego:Układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy,gdy rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzyrozszerzonej.Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1Nr: 11Rząd macierzy - przykłady" układ równań posiadający rozwiązanie:2 x1 + x + x3 = 2��2 1 1 2 1 1 2�� 2��0 1 - 2��, ��0 1 - 2 - 4��x - 2 x3 = - 4A = Arozszerzona =2�� x1 + x + x = 2��1 1 1 �� 1 1 1 2 �� ó� 2 3rank(A) = 3 rank(Arozszerzona ) = 3T T2 * [1 - 2 1] = [2 - 4 2]Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1Nr: 12Rząd macierzy - przykłady" układ równań posiadający rozwiązanie:2 x1 + x + x3 = 2��2 1 1 2 1 1 2�� 2��0 1 - 2��, ��0 1 - 2 - 4��x - 2 x3 = - 4A = Arozszerzona =2�� x1 + x + x = 2��1 1 1 �� 1 1 1 2 �� ó� 2 3rank(A) = 3 rank(Arozszerzona ) = 3T T2 * [1 - 2 1] = [2 - 4 2]" układ równań nie posiadający rozwiązania:2 1 2 1 2�� 2 x1 + x = 2��A = Arozszerzona =2��4 2��, ��4 2 5�� 4 x1 + 2 x = 5ó� 2rank(A) = 1 rank(Arozszerzona ) = 2Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1Nr: 13Typy układów równań liniowych" Układ jednorodny Je\eli wszystkie wyrazy wolne są równe 0, to układ równań nazywamyjednorodnym.Układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie." Układ kwadratowy Je\eli n = m układ równań nazywamy kwadratowym." rank(A) [ Pobierz całość w formacie PDF ]

Tematy